Thermomètre de Galilée

Le thermomètre de Galilée est composé d'un cylindre en verre clos rempli d'un liquide dans lequel on a placé des petites boules de même volume et de masses différentes. Lorsque la température du liquide varie, les boules vont monter ou descendre, indiquant ainsi la température ambiante.

Partie A. Résolution d'une équation différentielle

Lors de la construction d'un tel thermomètre, l'étude de la chute d'une boule dans un fluide conduit à l'équation différentielle suivante :

où \( y \) est une fonction de la variable réelle \( t \), définie et dérivable sur \( [0 ; +\infty[ \), et où \( y' \) est la fonction dérivée de \( y \).

1. Résoudre l'équation différentielle homogène :
\( y' + \frac{1}{2}y = 0 \)
2. Déterminer le réel \( k \) tel que la fonction \( g \), définie sur \( [0 ; +\infty[ \) par \( g(t) = k \), soit une solution particulière de l'équation \( (E) \).
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle \( (E) \).
4. Déterminer la fonction \( f \), définie sur \( [0 ; +\infty[ \), solution de l'équation différentielle \( (E) \) qui vérifie la condition \( f(0) = 0 \).

Partie B. Étude de fonction

On considère la fonction \( f \) définie sur \( [0 ; +\infty[ \) par :

1. Calculer la dérivée de la fonction \( f \).
2. Dresser le tableau de variations.

Problème de vitesse

A. Résolution d'une équation différentielle

L'étude d'un mouvement a montré que la vitesse en mètres par seconde est une fonction dérivable \( y \) de la variable réelle positive \( t \) vérifiant l'équation différentielle :

1. Résoudre sur l'intervalle \( [0 ; +\infty[ \) l'équation différentielle \( (E_0) \) :
   \( y' + 2y = 0 \)
2. Déterminer une fonction constante solution de l'équation \( (E) \) sur l'intervalle \( [0 ; +\infty[ \).
3. En déduire la solution générale de \( (E) \) sur l'intervalle \( [0 ; +\infty[ \).
4. Sachant que la vitesse initiale à l'instant \( t = 0 \) est nulle, déterminer la vitesse \( y \) en fonction de \( t \).

B. Étude d'une fonction

On considère la fonction \( f \) définie sur l'intervalle \( [0 ; +\infty[ \) par :

Étudier les variations de cette fonction.